FM调频

1 调制算法

1.1 FM 信号描述

用基带调制信号去控制载波信号的瞬时频率，使其按照调制信号的规律变化，当调制信号是模拟信号时，这个过程即为调频。调频信号的时域表达式如下：

Copy S FM(t)=Am×cos⁡[ωc t+Kf∫0 t m(τ)dτ](1)S_{FM}(t)=A_m\times \cos[\omega_ct+K_f \int^{t}_{0}m(\tau)d\tau]\tag{1}SFM​(t)=Am​×cos[ωc​t+Kf​∫0t​m(τ)dτ](1)

其中，$A_m$ 为载波振幅，$K_f$ 为调频灵敏度（单位为 $rad/(s\cdot V)$），$m (t)$ 是调制信号，$cos\omega_c t$ 为载波，$\omega_c$ 为载波角频率。
根据 (1) 式，可算出 FM 信号相对于载波频率的瞬时频偏为：

Copy d[Kf∫0 t m(τ)dτ]dt=Kf m(t)(2)\frac{d\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}{dt}=K_fm(t)\tag{2}dtd[Kf​∫0t​m(τ)dτ]​=Kf​m(t)(2)

由（1）式可知，FM 信号相对于载波相位的瞬时相位偏移随 $m (t)$ 的积分呈线性变化，由（2）式可知，FM 信号相对于载频的瞬时频率频移随 $m (t)$ 呈线性变化，比例系数都为 $K_f$。用 $k_f$ 表示调频灵敏度（单位 Hz/V），关系为 $K_f=2\pi k_f$。
FM 的调频指数 $\beta$ 为：

Copy β=kf∣m(t)∣max W(3)\beta=\frac{k_f |m(t)|_{max}}{W}\tag{3}β=Wkf​∣m(t)∣max​​(3)

其中 $W$ 是基带信号 $m (t)$ 的带宽或最高频率。

1.1.1 窄带调频（NBFM）

将由 $m (t)$ 引起的最大瞬时相位偏移远小于 30° 的情况称为窄带调频。窄带调频的带宽较窄，传输数据量有限，主要应用于无线语言的传输。

Copy∣Kf∫0 t m(τ)dτ∣≪π 6(4)|K_f\int_0^tm(\tau)d\tau|\ll\frac\pi6 \tag{4}∣Kf​∫0t​m(τ)dτ∣≪6π​(4)

此时，式（1）可以近似为：

Copy s NBFM(t)=Acos[ωc t+Kf∫0 t m(τ)dτ]=Acos(ωc t)cos[Kf∫0 t m(τ)dτ]−Asin(ωc t)sin[Kf∫0 t m(τ)dτ]≈Acos(ωc t)⋅1−Asin(ωc t)⋅Kf∫0 t m(τ)dτ=Acos(ωc t)−[A Kf∫0 t m(τ)dτ]sin(ωc t)(5)\begin{aligned}s_{NBFM}(t)&=Acos\left[\omega_ct+K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]\\\\&=Acos(\omega_ct)cos{\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}-Asin(\omega_ct)sin{\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}\\\\&\approx Acos(\omega_ct)\cdot1-Asin(\omega_ct)\cdot K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\\\\&=Acos(\omega_ct)-\left[AK_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]sin(\omega_ct)\end{aligned}\tag{5}sNBFM​(t)​=Acos[ωc​t+Kf​∫0t​m(τ)dτ]=Acos(ωc​t)cos[Kf​∫0t​m(τ)dτ]−Asin(ωc​t)sin[Kf​∫0t​m(τ)dτ]≈Acos(ωc​t)⋅1−Asin(ωc​t)⋅Kf​∫0t​m(τ)dτ=Acos(ωc​t)−[AKf​∫0t​m(τ)dτ]sin(ωc​t)​(5)

对其做 FFT 变换，得到窄带调频信号的频谱为：

Copy S NBFM(ω)=πA[δ(ω+ωc)+δ(ω−ωc)]+A Kf 2[M(ω−ωc)ω−ωc−M(ω+ωc)ω+ωc](6)S_{NBFM}(\omega)=\pi A\left[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\right]+\frac{AK_f}{2}\left[\frac{M(\omega-\omega_c)}{\omega-\omega_c}-\frac{M(\omega+\omega_c)}{\omega+\omega_c}\right]\tag{6}SNBFM​(ω)=πA[δ(ω+ωc​)+δ(ω−ωc​)]+2AKf​​[ω−ωc​M(ω−ωc​)​−ω+ωc​M(ω+ωc​)​](6)

其中 $M (\omega)$ 是调制信号 $m (t)$ 的频谱。与 AM 信号不同的是，NBFM 信号的两个边带分别乘了因式 $1/(\omega-\omega_c)\text { 和 } 1/(\omega+\omega_c)$，由于因式是与频率有关的函数，所以其加权是频率加权，加权的结果引起了调制信号频谱失真，而且 NBFM 的一个边带与 AM 反相。

1.1.2 宽带调频（WBFM）

当不满足式（4）的条件时，称为宽带调频。宽带调频占用的频带较宽，传输数据量大，主要用于调频立体声广播。WBFM 的时域表达式无法简化，当 $m (t)=A_m \cos (\omega_m t)$ 时，带入式（1）可得：

Copy s WBFM(t)=Acos[ωc t+Kf∫0 t Am cos(ωm τ)dτ]=Acos[ωc t+KfAm ωm sin(ωm t)]=Acos[ωc t+βsin(ωm t)]=A∑n=−∞∞Jn(β)cos[(ωc+n ωm)t](7)\begin{aligned}s_{WBFM}(t)&=Acos\left[\omega_ct+K_f\int_0^tA_mcos(\omega_m\tau)d\tau\right]\\\\& =Acos\left[\omega_ct+\frac{K_fA_m}{\omega_m}sin(\omega_mt)\right]\\\\& =Acos[\omega_ct+\beta sin(\omega_mt)]\\\\& =A\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(\beta)cos[(\omega_c+n\omega_m)t]\end{aligned}\tag{7}sWBFM​(t)​=Acos[ωc​t+Kf​∫0t​Am​cos(ωm​τ)dτ]=Acos[ωc​t+ωm​Kf​Am​​sin(ωm​t)]=Acos[ωc​t+βsin(ωm​t)]=An=−∞∑∞​Jn​(β)cos[(ωc​+nωm​)t]​(7)

式中 $J_n (\beta)$ 为第一类 n 阶贝塞尔函数，是调频指数 $\beta$ 的函数。
频谱为：

Copy S WBFM(ω)=πA∑n=−∞∞Jn(β)[δ(ω−ωc−n ωm)+δ(ω+ωc+n ωm)](8)S_{WBFM}(\omega)=\pi A\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(\beta)\left[\delta(\omega-\omega_c-n\omega_m)+\delta(\omega+\omega_c+n\omega_m)\right]\tag{8}SWBFM​(ω)=πAn=−∞∑∞​Jn​(β)[δ(ω−ωc​−nωm​)+δ(ω+ωc​+nωm​)](8)

1.2 FM 信号的带宽

宽带调频信号的频谱包含无穷多个频率分量，因此理论上调频信号的频带宽度为无限宽。但是，实际上边频幅度 $J_n (\beta)$ 随着 n 的增大而减小，因此取适当的 n 值使边频分量小到可以忽略的程度即可近似认为 FM 信号具有有限带宽。通常原则为信号的频带宽度应包括幅度大于未调载波的 10% 以上的边频分量。根据经验，当 $\beta \geq 1$ 时，选取边频数 $n=\beta +1$ 即可，因为大于 $\beta+1$ 的边频幅度均小于 0.1。
根据这个经验，FM 信号的有效带宽为：

Copy B W FM=2(β+1)W(9)BW_{FM}=2(\beta+1)W\tag{9}BWFM​=2(β+1)W(9)

这个公式即为卡森公式。

2 FM 调制方法

2.1 直接调频法

直接调频法是用调制信号 $m (t)$ 直接控制高频振荡器，让回路元件的参数发生改变，使其输出频率按调制信号的规律线性地变化，常用的元件是变容二极管。直接调频法的主要优点是在实现线性调频的要求下，可以获得较大的频偏，且实现电路简单；主要缺点是频率稳定度不高，往往需要采用自动频率控制系统来稳定中心频率。

2.2 间接调频法

间接调频法又被称为倍频法。先将调制信号积分，然后对载波进行调相，产生一个 NBFM 信号，再经过 $n$ 次倍频器得到 WBFM 信号。优点是频率稳定性高，缺点是需要多次倍频和混频，电路复杂。

2.3 正交调制法

将式（1）进行三角展开，可得：

Copy s FM(t)=Acos[ωc t+Kf∫0 t m(τ)dτ]=Acos(ωc t)cos[Kf∫0 t m(τ)dτ]−Asin(ωc t)sin[Kf∫0 t m(τ)dτ](10)\begin{aligned}s_{FM}(t)&=Acos\left[\omega_ct+K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]\\\\&=Acos(\omega_ct)cos\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]-Asin(\omega_ct)sin{\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}\end{aligned}\tag{10}sFM​(t)​=Acos[ωc​t+Kf​∫0t​m(τ)dτ]=Acos(ωc​t)cos[Kf​∫0t​m(τ)dτ]−Asin(ωc​t)sin[Kf​∫0t​m(τ)dτ]​(10)

流程如下：

对调制信号 $m (t)$ 进行积分，得到 $\Phi=K_f\int^{t}_{0} m (\tau) d\tau$

对积分后的信号分别取余弦和正弦，得到 I 路数据 $I (t)=\cos (\Phi)$ 与 Q 路数据 $Q (t)=\sin (\Phi)$

分别乘上载波 $A\cos (\omega_c t)$ 与 $-A\sin (\omega_ct)$ 后相加，即可得到 FM 信号 $s_{FM}(t)=I (t) Acos (\omega_ct)-Q (t) Asin (\omega_ct)$

3 FM 信号格式

我国的 FM 系统的调制频偏为 150kHz，分布在 87MHz~107.9MHz 频段。
其中基带信号为 MPX 信号，包含了单声道（0~15kHz），导频（19kHz），立体声副载波（中心频率 38kHz），RDS 数据（中心频率 58kHz）。其频谱成分如下：