多速率信号处理-CIC滤波器

基本原理#

级联积分梳状滤波器（Cascade Intergrator Comb）是多速率信号处理中一种十分高效的数字滤波器。CIC 滤波器具有低通滤波器的特性，同时具有以下优势：

积分器结构为

时域上可表示为

y_1(n)=x(n)+y_1(n-1)

频域上可表示为

H_1(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}w}}

可得积分器的幅度谱为

\left|H_1(\mathrm{e}^{jw})\right|=\left|\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-jw}}\right|=\left|\frac{1}{\mathrm{e}^{-jw/2}(\mathrm{e}^{jw/2}-\mathrm{e}^{-jw/2})}\right|=\left|\frac{1}{2\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|

从公式可以得出积分器只有极点 $(\omega = 2k \pi，k为整数)$ 而无零点，且对直流信号具有无限大的增益。

时域上可表示为

y_C(n)=x(n)-x(n-RM)

R 和 M 的乘积表示梳状滤波器的延时长度

频域上可表示为

H_\mathrm{C}(z)=1-z^{-RM}

幅度谱为

\left|H_{\mathrm{C}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw}\right|=\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw/2}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}RMw/2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw/2})\right|=2\left|\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)\right|

可知梳状滤波器只有零点，没有极点

若 $R=8$ 、 $M=1$ ，则结构为

由此可知单级 CIC 滤波器的幅度谱为

\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|H_{1}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|\cdot\left|H_{\mathrm{C}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)}{\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|

当 $\mathrm{RM\omega}/2=\mathrm{k}\:\pi$ 时，即 $w=\frac{2k\pi}{RM}\quad(k=\pm1,\pm2,\cdots,\pm(RM-1))$ 时可以确定零点

当 $\omega /2 =k\pi$ ，即 $\omega = 2k\pi$ 时，可得此时的幅频响应为

\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})\right|_{\omega=2k\pi}=RM

从而实现了零极点相消

单级 CIC 滤波器在 $\omega =0$ 时 $\left| H_{CIC}(e^{j\omega}) \right|=RM$ ，所以主瓣区间为 $\begin{bmatrix}0,\frac{2\pi}{RM}\end{bmatrix}$ ，其余都为旁瓣，第一旁瓣电平为

A_1=\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|_{w=\frac{3\pi}{RM}}=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}\times\frac{3\pi}{RM}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\times\frac{3\pi}{RM}\right)}\right|=\left|\frac{1}{\sin\left(\frac{3\pi}{2RM}\right)}\right|

因此旁瓣抑制为

A=\left|RM\sin\left(\frac{3\pi}{2RM}\right)\right|

当 $\mathrm {R}\rightarrow\infty $ 时，旁瓣抑制为

A=20lg(\lim_{R\to\infty}A)=20lg(\frac{3\pi}{2})=13.46dB

单级 CIC 滤波器的阻带衰减为

\alpha =-20lgb

带内容差（通带波纹）为

\delta = 20lg\left|\frac{b\pi}{\sin(b\pi)}\right|

其中 $b$ 为带宽比例因子

b=\frac{B}{f_s/(RM)}

单级 CIC 滤波器的旁瓣电平较高，可通过多级 CIC 级联改善。

\left|H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)}{\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|^N

对于 N 级 CIC 级联滤波器，旁瓣抑制、阻带衰减、带内容差可表示为

\begin{cases}A_\mathrm{N}=13.46N\:\mathrm{dB}\\\alpha_\mathrm{N}=-20N\lg b\\\delta_\mathrm{N}=20N\lg\left|\frac{b\pi}{\sin(b\pi)}\right|\end{cases}

增大 CIC 滤波器阶数的话，可以增加旁瓣抑制和阻带衰减，但是会导致带内容差变大。因此考虑到通带性能，通常选择 $N\leq5$ 。在 N 不变的情况下，带宽比例因子 b 越小，CIC 滤波器的通带和阻带特性也越好，因此 CIC 一般位于插值系统的最后一级（输入速率最高）

由多级滤波器的幅频响应可知，当 $\omega \rightarrow 0$ 时

\lim\limits_{w\to0}\Bigl|H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\Bigr|=\lim\limits_{w\to0}\Biggl|\frac{\frac{RM}{2}\cdot\cos(RMw/2)}{\frac{1}{2}\cdot\cos(w/2)}\Biggr|^N=(RM)^N

由此可知多级 CIC 滤波器可以引起的幅度增益的最大值为

G_{max}=(RM)^N

假设输入的数据 $x (n)$ 为有符号数，位宽为 $B_{in}$ ，取值范围为 $[-2^{B_{in}-1},2^{B_{in}-1}-1]$ ，则输出 $y(n)$ 的最大值为

y_{max}=-2^{B_{\mathrm{m}}-1}\cdot\left(RM\right)^N

因此输出的最大位宽为

B_{\mathrm{out}}=\text{ceil}[\log_2|y_{\mathrm{max}}|]+1=N\cdot\text{ceil}[\log_2(RM)]+B_{\mathrm{in}}

在 FPGA 设计时，要合理地设置输出信号的位宽，防止数据的溢出，为了节省资源，也可以在每一级适当的进行截位