1 調変アルゴリズム#
1.1 FM 信号の説明#
ベースバンド変調信号を使用してキャリア信号の瞬時周波数を制御し、変調信号の法則に従って変化させる。このプロセスは、変調信号がアナログ信号である場合、周波数変調（FM）と呼ばれる。周波数変調信号の時間領域表現は次の通りである：
Copy S F M ( t ) = A m × cos [ ω c t + K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] (1) S_{FM}(t)=A_m\times \cos[\omega_ct+K_f \int^{t}_{0}m(\tau)d\tau]\tag{1} S FM ( t ) = A m × cos [ ω c t + K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] ( 1 ) ここで、$A_m$ はキャリア振幅、$K_f$ は周波数変調感度（単位は $rad/(s\cdot V)$）、$m (t)$ は変調信号、$cos\omega_c t$ はキャリア、$\omega_c$ はキャリア角周波数である。
Copy d [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] d t = K f m ( t ) (2) \frac{d\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}{dt}=K_fm(t)\tag{2} d t d [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] = K f m ( t ) ( 2 ) 式（1）から、FM 信号のキャリア位相に対する瞬時位相偏移は $m (t)$ の積分に対して線形に変化することがわかる。式（2）から、FM 信号のキャリア周波数に対する瞬時周波数偏移は $m (t)$ に対して線形に変化し、比例係数は $K_f$ である。$k_f$ を周波数変調感度（単位 Hz/V）で表すと、関係は $K_f=2\pi k_f$ となる。
Copy β = k f ∣ m ( t ) ∣ m a x W (3) \beta=\frac{k_f |m(t)|_{max}}{W}\tag{3} β = W k f ∣ m ( t ) ∣ ma x ( 3 ) ここで $W$ はベースバンド信号 $m (t)$ の帯域幅または最高周波数である。
1.1.1 ナ arrowband FM（NBFM）#
$m (t)$ によって引き起こされる最大瞬時位相偏移が 30° 未満である場合をナ arrowband FM と呼ぶ。ナ arrowband FM の帯域幅は狭く、伝送データ量は限られており、主に無線音声の伝送に使用される。
Copy ∣ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ∣ ≪ π 6 (4) |K_f\int_0^tm(\tau)d\tau|\ll\frac\pi6 \tag{4} ∣ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ∣ ≪ 6 π ( 4 ) この場合、式（1）は次のように近似できる：
Copy s N B F M ( t ) = A c o s [ ω c t + K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] = A c o s ( ω c t ) c o s [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] − A s i n ( ω c t ) s i n [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] ≈ A c o s ( ω c t ) ⋅ 1 − A s i n ( ω c t ) ⋅ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ = A c o s ( ω c t ) − [ A K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] s i n ( ω c t ) (5) \begin{aligned}s_{NBFM}(t)&=Acos\left[\omega_ct+K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]\\\\&=Acos(\omega_ct)cos{\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}-Asin(\omega_ct)sin{\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}\\\\&\approx Acos(\omega_ct)\cdot1-Asin(\omega_ct)\cdot K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\\\\&=Acos(\omega_ct)-\left[AK_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]sin(\omega_ct)\end{aligned}\tag{5} s NBFM ( t ) = A cos [ ω c t + K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] = A cos ( ω c t ) cos [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] − A s in ( ω c t ) s in [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] ≈ A cos ( ω c t ) ⋅ 1 − A s in ( ω c t ) ⋅ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ = A cos ( ω c t ) − [ A K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] s in ( ω c t ) ( 5 ) これに FFT 変換を行うと、ナ arrowband FM 信号の周波数スペクトルは次のようになる：
Copy S N B F M ( ω ) = π A [ δ ( ω + ω c ) + δ ( ω − ω c ) ] + A K f 2 [ M ( ω − ω c ) ω − ω c − M ( ω + ω c ) ω + ω c ] (6) S_{NBFM}(\omega)=\pi A\left[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\right]+\frac{AK_f}{2}\left[\frac{M(\omega-\omega_c)}{\omega-\omega_c}-\frac{M(\omega+\omega_c)}{\omega+\omega_c}\right]\tag{6} S NBFM ( ω ) = π A [ δ ( ω + ω c ) + δ ( ω − ω c ) ] + 2 A K f [ ω − ω c M ( ω − ω c ) − ω + ω c M ( ω + ω c ) ] ( 6 ) ここで $M (\omega)$ は変調信号 $m (t)$ の周波数スペクトルである。AM 信号とは異なり、NBFM 信号の 2 つのサイドバンドはそれぞれ因子 $1/(\omega-\omega_c)\text { と } 1/(\omega+\omega_c)$ を掛けられており、因子は周波数に依存する関数であるため、その加重は周波数加重であり、加重の結果は変調信号の周波数スペクトルの歪みを引き起こし、NBFM の一方のサイドバンドは AM と逆相である。
1.1.2 ワイドバンド FM（WBFM）#
式（4）の条件を満たさない場合は、ワイドバンド FM と呼ばれる。ワイドバンド FM は広い周波数帯域を占有し、データ伝送量が大きく、主に FM ステレオ放送に使用される。WBFM の時間領域表現は簡略化できず、$m (t)=A_m \cos (\omega_m t)$ の場合、式（1）に代入すると次のようになる：
Copy s W B F M ( t ) = A c o s [ ω c t + K f ∫ 0 t A m c o s ( ω m τ ) d τ ] = A c o s [ ω c t + K f A m ω m s i n ( ω m t ) ] = A c o s [ ω c t + β s i n ( ω m t ) ] = A ∑ n = − ∞ ∞ J n ( β ) c o s [ ( ω c + n ω m ) t ] (7) \begin{aligned}s_{WBFM}(t)&=Acos\left[\omega_ct+K_f\int_0^tA_mcos(\omega_m\tau)d\tau\right]\\\\&
=Acos\left[\omega_ct+\frac{K_fA_m}{\omega_m}sin(\omega_mt)\right]\\\\&
=Acos[\omega_ct+\beta sin(\omega_mt)]\\\\&
=A\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(\beta)cos[(\omega_c+n\omega_m)t]\end{aligned}\tag{7} s W BFM ( t ) = A cos [ ω c t + K f ∫ 0 t A m cos ( ω m τ ) d τ ] = A cos [ ω c t + ω m K f A m s in ( ω m t ) ] = A cos [ ω c t + β s in ( ω m t )] = A n = − ∞ ∑ ∞ J n ( β ) cos [( ω c + n ω m ) t ] ( 7 ) 式中の $J_n (\beta)$ は第一種 n 次ベッセル関数であり、周波数変調指数 $\beta$ の関数である。
Copy S W B F M ( ω ) = π A ∑ n = − ∞ ∞ J n ( β ) [ δ ( ω − ω c − n ω m ) + δ ( ω + ω c + n ω m ) ] (8) S_{WBFM}(\omega)=\pi A\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(\beta)\left[\delta(\omega-\omega_c-n\omega_m)+\delta(\omega+\omega_c+n\omega_m)\right]\tag{8} S W BFM ( ω ) = π A n = − ∞ ∑ ∞ J n ( β ) [ δ ( ω − ω c − n ω m ) + δ ( ω + ω c + n ω m ) ] ( 8 ) 1.2 FM 信号の帯域幅#
ワイドバンド FM 信号の周波数スペクトルには無限の周波数成分が含まれているため、理論的には FM 信号の帯域幅は無限である。しかし、実際にはサイド周波数の振幅 $J_n (\beta)$ は n の増加に伴い減少するため、適切な n 値を選択してサイド周波数成分が無視できる程度まで小さくすることで、FM 信号は有限帯域幅を持つと近似できる。一般的な原則は信号の帯域幅は、未変調キャリアの 10% 以上の振幅を持つサイド周波数成分を含むべきである 。経験則により、$\beta \geq 1$ の場合、サイド周波数数 $n=\beta +1$ を選択すればよい。なぜなら、$\beta+1$ より大きいサイド周波数の振幅は 0.1 未満であるからである。
Copy B W F M = 2 ( β + 1 ) W (9) BW_{FM}=2(\beta+1)W\tag{9} B W FM = 2 ( β + 1 ) W ( 9 ) この公式はカーソンの公式である。
2 FM 変調方法#
2.1 直接変調法#
直接変調法は、変調信号 $m (t)$ を使用して高周波発振器を直接制御し、回路素子のパラメータを変更し、出力周波数を変調信号の法則に従って線形に変化させる方法である。一般的に使用される素子は可変容量ダイオードである。直接変調法の主な利点は、線形変調の要件を満たしながら大きな周波数偏差を得ることができ、回路が簡単であることである。主な欠点は、周波数の安定性が低く、中心周波数を安定させるために自動周波数制御システムを使用する必要があることである。
2.2 間接変調法#
間接変調法は倍周法とも呼ばれる。まず変調信号を積分し、次にキャリアの位相を変調して NBFM 信号を生成し、n 回の倍周器を通じて WBFM 信号を得る。利点は周波数の安定性が高いことであり、欠点は複数回の倍周と混合が必要であり、回路が複雑であることである。
2.3 正交変調法#
式（1）を三角展開すると次のようになる：
Copy s F M ( t ) = A c o s [ ω c t + K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] = A c o s ( ω c t ) c o s [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] − A s i n ( ω c t ) s i n [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] (10) \begin{aligned}s_{FM}(t)&=Acos\left[\omega_ct+K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]\\\\&=Acos(\omega_ct)cos\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]-Asin(\omega_ct)sin{\left[K_f\int_0^tm(\tau)d\tau\right]}\end{aligned}\tag{10} s FM ( t ) = A cos [ ω c t + K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] = A cos ( ω c t ) cos [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] − A s in ( ω c t ) s in [ K f ∫ 0 t m ( τ ) d τ ] ( 10 ) プロセスは次の通りである：
変調信号 $m (t)$ を積分し、$\Phi=K_f\int^{t}_{0} m (\tau) d\tau$ を得る
積分後の信号から余弦と正弦をそれぞれ取得し、I 路データ $I (t)=\cos (\Phi)$ と Q 路データ $Q (t)=\sin (\Phi)$ を得る
それぞれキャリア $A\cos (\omega_c t)$ と $-A\sin (\omega_ct)$ を掛けて加算することで、FM 信号 $s_{FM}(t)=I (t) Acos (\omega_ct)-Q (t) Asin (\omega_ct)$ を得る
3 FM 信号フォーマット#
我が国の FM システムの変調周波数偏差は 150kHz で、87MHz〜107.9MHz の周波数帯域に分布している。
