脈冲成形フィルタ - moerjielovecookie

デジタル信号をチャンネルで伝送するためには、送信機のベースバンド部分でパルス成形を行い、デジタル信号をパルス信号に変換する必要があります。パルス信号が受信機に到達した後、ベースバンド部分でサンプリング判定を行い、デジタル信号を復元します。

パルス成形#

矩形パルス#

最も実現しやすいパルス波形は矩形パルスです。デジタル信号「00010110」を例にとると、送信側では「0」を正パルスに、「1」を負パルスにマッピングできます。受信側のサンプリング時刻の信号レベルが正レベルであれば「0」、信号レベルが負レベルであれば「1」となります。
|525
しかし、矩形パルス信号の周波数スペクトルは無限に広いため、帯域幅が限られたチャンネルで伝送すると歪みが発生し、サンプリング判定の歪みを引き起こし、デジタル信号を復元できなくなる可能性があります。

Sinc パルス#

Sinc パルス信号には 2 つの利点があります：

Sinc 信号の周波数スペクトル帯域幅は有限であり、帯域幅が限られたチャンネルで伝送しても歪みが発生しません。
1 つの符号元が最大振幅に達しているとき、他の符号元の振幅はちょうど 0 になり、符号元同士が相互に影響を与えず、符号間の干渉を実現します。
デジタル信号 00010110 を例にとると、0 は正パルスに、1 は負パルスにマッピングされます。
送信側でパルス成形後の波形は以下の通りです：

受信側のサンプリング判定は以下の通りです：

ベースバンドフィルター#

理想的なローパスフィルター#

Sinc 波形にパルス成形を行うには、単位インパルス信号を理想的な LPF に入力するだけで Sinc パルス信号を得ることができます。
LPF の帯域幅が B の場合、出力される Sinc パルス信号の波形は以下の通りです：
|500
Sinc パルス信号の送信間隔を $\frac {1}{B}$、すなわち符号元伝送速度 $R_B=2B$ に設定すれば、符号間の干渉を実現できます。

余弦ロールオフフィルター#

理想的なローパスフィルターを使用して単位インパルス信号をフィルタリングして得られる Sinc パルス信号は、尾部の振動振幅が比較的大きく、減衰速度が比較的遅いため、タイミングに偏差が生じると符号間干渉が大きくなります。実際のシステムには常に一定のタイミング誤差が存在することを考慮すると、パルス成形には一般的に理想的なローパスフィルターではなく、余弦ロールオフフィルターが使用されます。このフィルターは尾部振幅が小さく、減衰が速く、符号間干渉を減少させ、タイミングの要求を低下させるのに役立ちます。
余弦ロールオフフィルターの周波数応答は次のようになります：

\begin{aligned} &\mathrm{H}(f)=\begin{cases}\frac{1}{2B},&0\leqslant\left|f\right|<\left(1-\alpha\right)B\\\frac{1}{4B}\left\{1+\cos\frac{\pi}{2B\alpha}\Big[\left|f\right|-B\left(1-\alpha\right)\right]\Big\},&(1-\alpha)B\leqslant|f|<(1+\alpha)B\\0,&\left|f\right|\geqslant\left(1+\alpha\right)B \\ \end{cases}\end{aligned}

ここで、 $B=\frac{R_B}{2}$
余弦ロールオフフィルターの周波数応答曲線は以下の通りです：

余弦ロールオフフィルターの単位インパルス応答は：

\mathrm h(t)=\mathscr{F}^{-1}\big[\mathrm H(f)\big]=\mathrm sinc\big(2Bt\big)\frac{\cos\big(2\pi\alpha Bt\big)}{1-\big(4\alpha Bt\big)^2}

ここで、 $\alpha$ は余弦ロールオフフィルターの非常に重要なパラメータで、ロールオフ係数と呼ばれます。
$\alpha=0$ のとき、余弦ロールオフフィルターは帯域幅 B の理想的なローパスフィルターになります。
$\alpha=0.5$ のとき、余弦ロールオフフィルターの周波数応答と単位インパルス応答は以下の通りです：

このときフィルターの帯域幅は $（1+\alpha）B=1.5B$ です。
$\alpha=1$ のとき、余弦ロールオフフィルターの周波数応答と単位インパルス応答は以下の通りです：

このときフィルターの帯域幅は $（1+\alpha）B=2B$ です。
余弦ロールオフフィルターを使用してパルス成形を行う場合、符号間の干渉を実現するためには、パルス信号間の時間間隔を $\frac{1}{2B}$ 、すなわち符号元速度を $R_B=2B$ にする必要があります。
余弦ロールオフフィルターは帯域幅を広げるため、与えられた符号元速度 $R_B$ の下で、ベースバンド信号の周波数スペクトル帯域幅は $(1+\alpha)\times {R_B}/{2}$ となります。

眼図#

眼図はシステムの符号間干渉の状況を評価するために使用できます。